解決したかのように思われます。
WordPressから、メールがあり、「WordPress には特別な「リカバリーモード」があります。これによりダッシュボードに安全にログインし、さらに調査をすることができます。」と記載されていました。
記載されていたＵＲＬから、両方のサイトが開くようななったように思えます。
reCaptcha by BestWebSoftというプラグインについて、
プラグインを更新する際に、更新が完了する前に、他の画面に切り替えてしまったことが原因のようです。
ただ、WordPressの管理画面には、次の表示があります。
「重大なエラーを引き起こしたため、プラグインを有効化できませんでした。」
reCaptcha by BestWebSoftというプラグインは、「停止中」のままです。
「有効化」を適用クリックしても「停止中」のままです。

@woo さま

ご質問いただきましてありがとうございます。
回答が遅くなり申し訳ございません。

掲載いただいた情報をもとに推察しますと、
おそらくファイルサーバーにアクセスして
問題のプラグインのディレクトリを一度削除する必要がある状態かと思われます。

XServerを例にして説明させていただきます。
下記ログインページでログイン後、ご自身のWordPressを運用しているドメインの「ファイル管理」ボタンを押すと
ファイルマネージャにアクセスできます。（添付画像参照）
[XServerアカウント - ログイン]( https://secure.xserver.ne.jp/xapanel/login/xserver/)

下記手順で削除が可能です。
1.「サイトのドメイン名」>「pubulic_html」>「wp-content」>「plugins」ディレクトリに移動
2.「google-captcha」ディレクトリがあることを確認
3.「google-captcha」ディレクトリを削除

プラグインを再度追加したい場合は
再度WordPressの管理画面「プラグイン」にて「追加」と「有効化」を実行していただく必要があります。